1. Números y variables complejas
1.1. Justificación
1.2. Caracterización del número complejo
1.3. Operaciones racionales
1.4. Otras operaciones
1.5. Teorema final de la Aritmética
1.6. Ecuaciones polinómicas
1.7. Variable compleja
Problemas resueltos
Problemas complementarios
2. Funciones de variable compleja
2.1. Definición
2.2. Límites
2.3. Continuidad
2.4. Algunas funciones elementales
2.5. Funciones multivaluadas y superficies de Riemann
2.6. La función bilineal
Problemas resueltos
Problemas complementarios
3. Derivación y funciones regulares
3.1. Concepto de derivada
3.2. Ecuaciones de Cauchy-Riemann
3.3. Reglas y fórmulas de derivación
3.4. Regla de L'Hôpital
3.5. Funciones regulares
3.6. Transformación conforme
Problemas resueltos
Problemas complementarios
4. Integración
4.1. Integrales curvilíneas en el campo real
4.2. La integral en el campo complejo
4.3. La integral de Cauchy
4.4. Derivadas de funciones regulares
4.5. El teorema de Liouville y el teorema fundamental del Álgebra
4.6. El teorema del módulo máximo
4.7. Integrales de funciones multiformes
Problemas resueltos
Problemas complementarios
5. Series de términos complejos
5.1. Sucesiones y series en el campo real
5.2. Sucesiones y series de términos complejos
5.3. Series de potencias
5.4. Series de Taylor
5.5. Series de Laurent
Problemas resueltos
Problemas complementarios
6. Puntos singulares
6.1. Puntos singulares
6.2. Residuos
6.3. Funciones meromorfas
6.4. Aplicaciones de la teoría de residuos
6.5. El teorema de Rouché
Problemas resueltos
Problemas complementarios
7. Representación conforme
7.1. Caracterización y propiedades principales
7.2. Grados de libertad de una transformación
7.3. Algunas transformaciones elementales
7.4. Teorema de Riemann
7.5. Determinación de transformaciones
Problemas resueltos
Problemas complementarios
8. Transformaciones de Schwarz-Christoffel y Joukowski
8.1. Introducción
8.2. La transformación de Schwarz-Christoffel
8.3. La transformación de Joukowski
Problemas resueltos
Problemas complementarios
9. Funciones armónicas y condiciones de contorno
9.1. Introducción
9.2. Propiedades de las funciones armónicas
9.3. Funciones armónicas y representación conforme
9.4. Problemas de contorno
9.5. El problema de Dirichlet
9.6. El problema de Neumann
Problemas resueltos
Problemas complementarios
10. Campos escalares y vectoriales
10.1. Introducción
10.2. Campos escalares
10.3. Campos vectoriales
10.4. Tipos de campos vectoriales
10.5. Campos conservativos
10.6. Campos solenoidales
10.7. Campos centrales y campos newtonianos
10.8. Campos coulombianos
10.9. Variable compleja y campos
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Problemas complementarios
11. Variable compleja y ecuación del calor
11.1. Introducción
11.2. Transmisión del calor
11.3. Variable compleja y ecuación del calor
Problemas resueltos
Problemas complementarios
12. Variable compleja y campos electrostáticos
12.1. Introducción
12.2. Electrostática
12.3. Variable compleja y campos electrostáticos
Problemas resueltos
Problemas complementarios
13. Variable compleja y dinámica de fluidos
13.1. Introducción
13.2. Tipos de flujo
13.3. Ecuaciones fundamentales del movimiento
13.4. Variable compleja y dinámica de fluidos
13.5. Fuentes, sumideros y vórtices
13.6. Empuje y sustentación
13.7. Redes de filtración
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Problemas complementarios
14. Variable compleja y transformadas de Laplace en circuitos eléctricos
14.1. Introducción
14.2. Circuitos eléctricos en general
14.3. Circuitos de corriente alterna
14.4. Circuitos en régimen transitorio
14.5. Transformadas de Laplace
14.6. Transformadas de Laplace y circuitos eléctricos
Apéndice. Tabla de algunas transformadas de Laplace
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Problemas complementarios
15. Variable compleja y elasticidad
15.1. Introducción
15.2. Ecuaciones de equilibrio
15.3. Corrimientos y deformaciones
15.4. Relaciones tensión-deformación
15.5. Planteamiento del problema elástico bidimensional
15.6. Variable compleja y elasticidad
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Bibliografía
El libro que tiene en sus manos va dirigido a estudiantes de las Facultades de Matemáticas y Escuelas de Ingeniería, aunque será también de utilidad para aquellos profesionales que deseen refrescar o incluso aumentar sus conocimientos sobre algún tema específico de los aquí tratados.
Consta de tres partes claramente diferenciadas: los primeros nueve capítulos constituyen un curso de teoría de funciones de variable compleja, con alcance y contenido coincidentes con los que se imparten en las Facultades de Matemáticas. En el tratamiento de los temas, se ha tenido siempre presente las aplicaciones de la teoría a diversas ramas de la ciencia y de la técnica, posteriormente consideradas. Sin perjuicio del rigor exigido, se ha prescindido de la demostración de algunos pocos teoremas cuando resulta complicada y aporta poco a la consecución de los fines generales perseguidos.
La segunda parte (capítulo 10) incluye un repaso de los conceptos fundamentales relativos a los campos escalares y vectoriales. Se analiza la estrecha relación que puede establecerse entre esta teoría y los campos bidimensionales, fuente de aplicación a numerosos problemas de diversas disciplinas técnicas.
Los últimos cinco capítulos constituyen la tercera parte del libro donde se expone, con inusual profundidad, la aplicación de la teoría de variable compleja a otras tantas especialidades de la Física Matemática o de la Ingeniería: transmisión del calor, campos electrostáticos planos, dinámica de fluidos, cálculo de circuitos eléctricos y teoría de la elasticidad, temas, estos dos últimos, muy poco habituales en la literatura matemática. Más de 250 ejemplos contribuyen a esclarecer y afianzar los aspectos y temas expuestos. Asimismo al final de cada capítulo se incluyen 234 problemas resueltos acompañados de otros 129 problemas de los que solo se indica su solución, en muchos de ellos precedida de una ayuda para llegar a ella.